Persamaan dan Fungsi Kuadrat

 Matenatika kelas 9

Persamaan dan Fungsi Kuadrat 

1. Persamaan Kuadrat

Rumus umum persamaan kudrat :

ax² + bx + c = 0

 

Contoh persamaan Kuadrat

x² + 3x – 10 = 0

Carilah akar – akar persamaan kuadrat diatas.

Jawab :

 a.  Cara Faktorisasi

Ini adalah cara sederhana dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pertama cari dua bilangan yang dijumlahkan menjadi 3 dan dikalikan menjadi

 – 10

Kita coba dengan angka 2, – 2, 5, – 5.

	A	B	A + B	A x B
1	2	5	7	10
2	2	– 5	– 3	– 10
3	– 2	5	3	– 10
4	– 2	– 5	– 7	10

 

Lihat table diatas ternyata nomor 3 yang memenuhi syarat penyelesaian persamaan kuadrat tersebut yaitu – 2 dan 5.

 

Selanjutnya masukkan kedua angka tersebut ke dalam persamaan :

x² + 3x – 10 = 0

( x – 2 )( x + 5 ) = 0

x₁ – 2 = 0

x₁ = 2

x₂ + 5 = 0

x₁ = – 5

Jadi himpuan penyelesaiannya adalah {2, – 5}

      b. Rumus ABC

Rumus ini sangat universal karena bisa digunakan untuk semua bentuk persamaan kuadrat, tanpa harus coba – coba seperti diatas,

Bentuk rumus ABC :  

Contoh penerapan rumus ini :

Misal suatu persamaan kuadrat seperti ini

x² + 3x – 10 = 0

maka :

a = 1, b = 3, c = – 10

 

Jadi himpuan penyelesaiannya adalah {2, – 5}

 

  2. Grafik Fungsi Kuadrat

misal persamaan Fungsi kuadrat  y = x² + 3x – 10  atau bisa ditulis seperti ini f(x) = x² + 3x – 10 ,

Gambarkan bentuk grafik fungsi kuadrat tersebut.!

Jawab :

Misal kita mau membuat grafik fungsi kuadrat untuk rentang nilai x = 5 s/d x = – 5, Lengkapi kolom – kolom di bawah ini , kita pilih nilai x sembarang,

x	y = x2 + 3x – 10	( x, y)
5	30	(5, 30)
3	8	(3, 8)
1	– 6	(1, – 6)
0	– 10	(0, – 10)
– 1	– 12	(– 1, – 12)
– 3	– 10	(– 3, – 10)
– 5	0	(– 5, 0)

 

Nilai dari Hasil ( x, y) kemudian  dipetakan ke grafik seperti dibawah ini :

Grafik fungsi  y = x² + 3x – 10

    3. Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Sumbu simetri dari Persamaan kudrat  y = ax² + bx + c

adalah   

Nilai y₀ optimun :

 

Contoh persaaan kuadrat

y = x² + 3x – 10

Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum persamaan tersebut

Jawab :

y = x² + 3x – 10

a = 1, b = 3, c = – 10

1.    Sumbu simetrinya x adalah

 

2.    Nilai y₀ Optimum :

 

 y₀  =   – 12,25

Sumbu simetri dan nilai optimum bisa dilihat dari grafik di bawah

 

Sumbu simetri (x = – 1,5) dan nilai y optimum (y₀  =   – 12,25)

 

Sehingga titik optiumnya adalah (x, y) = ( – 1,5, – 12,25)

 

4.  Menentukan Fungsi Kuadrat

Diketahui suatu garis lengkung memotong sumbu X di titik  (– 5, 0)

dan (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, – 10). Tentukan persamaan kuadrat garis tersebut.

 

Jawab :

Rumus umum persamaan kuadrat adalah y = ax² + bx + c

Karena memotong di sumbu x di titik  (– 5, 0) dan (2, 0) maka persamaannya dapat ditulis sebagai berikut :

y = a(x + 5)(x – 2)

dan juga memotong di sumbu y di titik (0, – 10) maka persamaan diatas dapat dirubah menjadi :

– 10 = a(0 + 5)(0 – 2)

⇔ a =  – 10 / – 10 = 1

Sehingga persamaan kuadrat dapat ditulis seperti ini

y = a(x + 5)(x – 2)

⇔ y = 1(x + 5)(x – 2)

⇔ y = x² + 5x – 2x + 5.( – 2)

⇔ y = x² + 3x  – 10

5.  Aplikasi fungsi kuadrat

Contoh penerapan rumus kuadrat di lapangan.

Seseorang pemain golf memukul bola ke udara dengan sudut elevasi tertentu maka lintasan bola tersebut merupakan lintasan persamaan kuadrat .

yang mempunyai nilai tertentu

F(x) = ax² + bx + c atau dapat ditulis  y = ax² + bx + c

Ketinggian bola golf (Y) merupakan fungsi dari X (jarak  horizontal bola)